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PROJET G5
CULTIVONS NOS
DIFFERENTIELLES***********************************
Soit une
fonction
quelconque y = f(x)
représentée par la courbe ci-dessous .
Si l'on prend deux points A et B sur la courbe avec B proche de A on peut dire que la différentielle au point A est la quantité dy / dx . C'est la pente de la droite (D) qui passe par A et B. Voilà c'est tout mais ........  DERIVER C'EST PRENDRE LA TANGENTE ************************************* .... la
dérivée au point A est la limite de la
différentielle dy
/ dx quand
dx
tend vers 0 . C'est la pente de la tangente à la
courbe au
point A.
Sa valeur numérique est égale à la pente de la droite . On associe donc à une fonction y = f(x) une autre fonction y' = f'(x) qui associe à chaque point (x,y) une valeur y' = pente de la tangente à ce point.  1 er cas
: y =
ax .
La courbe est ici une droite de pente a. Il est évident que tous les points de cette droite ont la même droite comme tangente et que y' = a. La dérivée est alors une constante. 2 ème cas y = sin x  En jaune la courbe pour y
= sin x. On voit d'après ce qui a
été vu que
sin
0 = 0, sin Pi/2 = 1,
sin Pi = 0 , sin
3Pi/2 = -1 , sin 2Pi = 0 etc....
Si l'on regarde la valeur de la dérivée de la courbe jaune on voit que la tangente a une pente maximum au point 0. Sin x tend vers x quand x tend vers 0 donc limite de dy / dx = 1 et la pente de la tangente en x = 0 est de 1. On remarque au passage que c'est la valeur du cosinus au point x = 0. Si l'on observe que la pente de la tangente en Pi/2 est nulle on voit que c'est aussi la valeur de cos x au même point. La pente de la tangente de la courbe jaune est à nouveau maximum en Pi mais dans l'autre sens ( dy/dx < 0 car dy <0 ) : elle vaut -1 comme la valeur du cosinus au même point. La pente de la tangente de la courbe jaune s'annule à nouveau en 3Pi/2 . C'est encore la valeur du cosinus ( cos 3Pi/2 = 0 ). On retrouve la pente de 1 en x = 2Pi qui correspond à cos 2Pi. Bref comme on le constate la dérivée de sin x c'est cos x. sin ' x = cos x
D'autre part nous avons vu que sin ( x + Pi/2) = cos x Donc Dérivée
de sin x =
sin' x = sin ( x + Pi/2)
Cette
formule est fondamentale pour bien
comprendre
les rapports courants/tensions dans les
impédances complexes que
sont les selfs et les capacités d'autant
que tous les signaux , même les plus
complexes, sont
composés d'une multitude de simples
signaux sinusoïdaux
superposés.Une
dernière notion sur les
dérivées pour bien comprendre les
rapports
courants/tensions dans les impédances
complexes que sont les
selfs et les capacités :
Si X est elle-même une fonction , par exemple une fonction linéaire du temps X = at. Nous avons vu que la limite de dX/dt quand dt tend vers 0 est a. Dans le cas général si nous avons Y = f(X) et que X = g(t) alors Y = f ( g(t) ) . Que vaut alors la dérivée de Y par rapport à t ? Il suffit de retourner à nos différentielles : Y' = limite de dY/dt quand dt tend vers 0 . dY dX Sachant que Y' = __ . __
dX
dt
On voit ici que la dérivée est égale au produit des deux dérivées. Donc si Y = sin X et X = a t alors Y = sin (a t) et Y' = cos (a t) x a d'où en conclusion : Y
= sin
(at)
=> Y' = a sin (at + Pi/2)
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